集合论是数学的通用地基，用元素、集合、关系和映射来刻画一切数学对象；群论在此基础上研究一个集合配上单一可逆运算所体现的对称与变换结构；环论则引入加法和乘法两种运算，其中加法构成群、乘法只需结合且对加法分配，从而能处理整数、多项式、矩阵等可加可乘但未必可除的系统；域论是环论的特例，要求非零元都有乘法逆元且乘法交换，因而可以自由进行加减乘除，成为方程求解与伽罗瓦理论的核心；模论进一步将线性代数中的系数从域推广到环，让环作用在阿贝尔群上，形成“环上的向量空间”，用以统一处理群表示、同调代数与线性映射的推广。